第406节
众所周知。
正弦值sinθ等于对边c除以斜边a，正切值tanθ等于对边c除以邻边b。
徐云又画了个夹角很小的直角三角形，角度估摸着只有几度：
“但是一旦角度θ非常非常小，那么邻边b和斜边a就快要重合了。”
“这时候我们是可以近似的认为a和b是相等的，也就是a≈b。”
随后在纸上写到：
【于是就有c/b≈c/a，即tanθ≈sinθ。】
【之前的公式可写成f=t·tan（θ＋Δθ）－t·tanθ=μ·Δxaa^2f/at^2。】
“稍等一下。”
看到这句话，法拉第忽然皱起了眉头，打断了徐云。
很明显。
此时他已经隐隐出现了掉队的迹象：
“罗峰同学，用tanθ替代sinθ的意义是什么？”
徐云又看了小麦，小麦当即心领神会：
“法拉第先生，因为正切值tanθ还可以代表一条直线的斜率呀，也就是代表曲线在某一点的导数。”
“正切值的表达式是tanθ=c/b，如果建一个坐标系，那么这个c刚好就是直线在y轴的投影dy，b就是在x轴的投影dx。”
“它们的比值刚好就是导数dy/dx，也就是说tanθ=dy/dx。”
法拉第认真听完，花了两分钟在纸上演算了一番，旋即恍然的一拍额头：
“原来如此，我明白了，请继续吧，罗峰同学。”
徐云点点头，继续解释道：
“因为波的函数f(x，t)是关于x和t的二元函数，所以我们只能求某一点的偏导数。”
“那么正切值就等于它在这个点的偏导数tanθ=af/ax，原来的波动方程就可以写成这样……”
随后徐云在纸上写下了一个新方程：
t（af/axlx＋△x－af/axlx）=μ·Δxaa^2f/at^2。
看起来比之前的要复杂一些，但现场的这些大佬的目光，却齐齐明亮了不少。
到了这一步，接下来的思路就很清晰了。
只要再对方程的两边同时除以Δx，那左边就变成了函数af/ax在x＋Δx和x这两处的值的差除以Δx。
这其实就是af/ax这个函数的导数表达式。
也就是说。
两边同时除以一个Δx之后，左边就变成了偏导数af/ax对x再求一次导数，那就是f(x，t)对x求二阶偏导数了。
同时上面已经用a^2f/at^2来表示函数对t的二阶偏导数，那么这里自然就可以用a^2f/ax^2来表示函数对x的二阶偏导数。
然后两边再同时除以t，得到方程就简洁多了：
a^2f/ax=μa^2f/tax^2。
同时如果你脑子还没晕的话便会发现……
μ/t的单位……
刚好就是速度平方的倒数！
也就是说如果我们把一个量定义成t/μ的平方根，那么这个量的单位刚好就是速度的单位。
可以想象，这个速度自然就是这个波的传播速度v：
v^2=t/μ。
因此将这个值代入之后，一个最终的公式便出现了：
a^2f/ax=a^2f/v^2ax^2。
这个公式在后世又叫做……
经典波动方程。
当然了。
这个方程没有没有考虑量子效应。
如果要考虑量子效应，这个经典的波动方程就没用了，就必须转而使用量子的波动方程，那就是大名鼎鼎的薛定谔方程。
薛定谔就是从这个经典波动方程出发，结合德布罗意的物质波概念，硬猜出了薛定谔方程。
没错，靠猜的。
具体内容就先不赘述了，总之这个方程让物理学家们从被海森堡的矩阵支配的恐惧中解脱了出来，重新回到了微分方程的美好世界。
如今徐云不需要考虑量子方面的事儿，因此有经典波动方程就足够了。
接着他又在纸上写下了一道新的公式。
而随着这道新公式的写出，法拉第赫然发现……
自己剩下的那一片硝酸甘油，好像不太够用了。
第258章 见证奇迹吧！（中）
从公元前活到现在的同学应该都知道。
很早以前，人们就发现了电荷之间和磁体之间都有作用力。
但是最初，人们并未把这两种作用联系起来。
直到人们发现有些被闪电劈中的石头会具有磁性，于是猜测出电与磁之间可能存在某种关系。
再往后的故事就很简单了。
奥斯特发现电可以产生磁，法拉第发现了磁可以产生电。
人们终于认识到电与磁的关系密不可分，开始利用磁铁制造发电机，也利用电流制造电磁铁。
不过此前提及过。
法拉第虽然发现了电磁感应现象，并且用磁铁屑表示出了磁感线。
但最终归纳出电磁感应定律的，则是今天同样出现在教室里的纽曼和韦伯。
只是他们为了纪念法拉第的贡献，所以才将这个公式命名为法拉第电磁感应定律。
纽曼和韦伯的推导过程涉及到了的纽曼矢量势an和韦伯矢量式aw，比较复杂，这里就不详细深入解释了。
总而言之。
法拉第电磁感应定律的终式如下：
1.e＝nΔΦ/t
(1)磁通量的变化是由面积变化引起时，ΔΦ＝bΔs，则e＝nbΔs/t；
(2)磁通量的变化是由磁场变化引起时，ΔΦ＝Δbs，则e＝nΔbs/t；
(3)磁通量的变化是由于面积和磁场变化共同引起的，则根据定义求，ΔΦ＝|Φ末－Φ初|。
2.导体棒切割磁感线时：e＝blv
3.导体棒绕一端转动切割磁感线时：e＝bl2w
4.导线框绕与b垂直的轴转动时：e＝nbsw。
看到这些公式，是不是回忆起了被高中物理支配的恐惧？
咳咳……
而徐云正是在这个基础上，写下了另一个令法拉第头皮发麻的公式：
▽x（▽xe）=▽（▽·e）－（▽·▽）e=▽（▽·e）－▽^2e
▽^2t=a^2t/ax^2＋a^2t/ay^2＋a^2t/az^2。
没错。
聪明的同学想必已经看出来了。
第一个小公式是矢量的三重积公式推电场e的旋度的旋度，第二个则是电场的拉普拉斯。
其中旋度这个名称……也就是curl，是由小麦在1871年提出的词汇。
但相关概念早在1839在光学场理论的构建就出现过了，只是还没正式被总结而已。
其实吧。
以法拉第的数学积累，这个公式他多半是没法瞬间理解的，需要更为深入的解析计算。
奈何考虑到一些鲜为人同学挂科挂的都快哭了，这里就假定法拉第被高斯附身了吧……
随后看着徐云写出来的这个公式，在场众人中真实数学水平最高的韦伯再次意识到了什么。
只见他皱着眉头注视了这个公式小半分钟，忽然眼前一亮。
左手摊平，右手握拳，在掌心上重重一敲：
“这是……电场散度的梯度减去电场的拉普拉斯可以得到的值？”
徐云朝他竖起了一根大拇指，难怪后世有人说韦伯如果不进入电磁学，或许数学史上便会出现一尊巨匠。
这种思维灵敏度，哪怕在后世都不多见。
在上面那个公式中。
▽（▽·e）表示电场e的散度的梯度，e（▽·▽）则可以换成（▽·▽）e，同时还可以写成▽^2e——这就引出了后面的拉普拉斯算子。
只要假设空间上一点（x，y，z）的温度由t（x，y，z）来表示，那么这个温度函数t（x，y，z）就是一个标量函数，便可以对它取梯度▽t。
正弦值sinθ等于对边c除以斜边a，正切值tanθ等于对边c除以邻边b。
徐云又画了个夹角很小的直角三角形，角度估摸着只有几度：
“但是一旦角度θ非常非常小，那么邻边b和斜边a就快要重合了。”
“这时候我们是可以近似的认为a和b是相等的，也就是a≈b。”
随后在纸上写到：
【于是就有c/b≈c/a，即tanθ≈sinθ。】
【之前的公式可写成f=t·tan（θ＋Δθ）－t·tanθ=μ·Δxaa^2f/at^2。】
“稍等一下。”
看到这句话，法拉第忽然皱起了眉头，打断了徐云。
很明显。
此时他已经隐隐出现了掉队的迹象：
“罗峰同学，用tanθ替代sinθ的意义是什么？”
徐云又看了小麦，小麦当即心领神会：
“法拉第先生，因为正切值tanθ还可以代表一条直线的斜率呀，也就是代表曲线在某一点的导数。”
“正切值的表达式是tanθ=c/b，如果建一个坐标系，那么这个c刚好就是直线在y轴的投影dy，b就是在x轴的投影dx。”
“它们的比值刚好就是导数dy/dx，也就是说tanθ=dy/dx。”
法拉第认真听完，花了两分钟在纸上演算了一番，旋即恍然的一拍额头：
“原来如此，我明白了，请继续吧，罗峰同学。”
徐云点点头，继续解释道：
“因为波的函数f(x，t)是关于x和t的二元函数，所以我们只能求某一点的偏导数。”
“那么正切值就等于它在这个点的偏导数tanθ=af/ax，原来的波动方程就可以写成这样……”
随后徐云在纸上写下了一个新方程：
t（af/axlx＋△x－af/axlx）=μ·Δxaa^2f/at^2。
看起来比之前的要复杂一些，但现场的这些大佬的目光，却齐齐明亮了不少。
到了这一步，接下来的思路就很清晰了。
只要再对方程的两边同时除以Δx，那左边就变成了函数af/ax在x＋Δx和x这两处的值的差除以Δx。
这其实就是af/ax这个函数的导数表达式。
也就是说。
两边同时除以一个Δx之后，左边就变成了偏导数af/ax对x再求一次导数，那就是f(x，t)对x求二阶偏导数了。
同时上面已经用a^2f/at^2来表示函数对t的二阶偏导数，那么这里自然就可以用a^2f/ax^2来表示函数对x的二阶偏导数。
然后两边再同时除以t，得到方程就简洁多了：
a^2f/ax=μa^2f/tax^2。
同时如果你脑子还没晕的话便会发现……
μ/t的单位……
刚好就是速度平方的倒数！
也就是说如果我们把一个量定义成t/μ的平方根，那么这个量的单位刚好就是速度的单位。
可以想象，这个速度自然就是这个波的传播速度v：
v^2=t/μ。
因此将这个值代入之后，一个最终的公式便出现了：
a^2f/ax=a^2f/v^2ax^2。
这个公式在后世又叫做……
经典波动方程。
当然了。
这个方程没有没有考虑量子效应。
如果要考虑量子效应，这个经典的波动方程就没用了，就必须转而使用量子的波动方程，那就是大名鼎鼎的薛定谔方程。
薛定谔就是从这个经典波动方程出发，结合德布罗意的物质波概念，硬猜出了薛定谔方程。
没错，靠猜的。
具体内容就先不赘述了，总之这个方程让物理学家们从被海森堡的矩阵支配的恐惧中解脱了出来，重新回到了微分方程的美好世界。
如今徐云不需要考虑量子方面的事儿，因此有经典波动方程就足够了。
接着他又在纸上写下了一道新的公式。
而随着这道新公式的写出，法拉第赫然发现……
自己剩下的那一片硝酸甘油，好像不太够用了。
第258章 见证奇迹吧！（中）
从公元前活到现在的同学应该都知道。
很早以前，人们就发现了电荷之间和磁体之间都有作用力。
但是最初，人们并未把这两种作用联系起来。
直到人们发现有些被闪电劈中的石头会具有磁性，于是猜测出电与磁之间可能存在某种关系。
再往后的故事就很简单了。
奥斯特发现电可以产生磁，法拉第发现了磁可以产生电。
人们终于认识到电与磁的关系密不可分，开始利用磁铁制造发电机，也利用电流制造电磁铁。
不过此前提及过。
法拉第虽然发现了电磁感应现象，并且用磁铁屑表示出了磁感线。
但最终归纳出电磁感应定律的，则是今天同样出现在教室里的纽曼和韦伯。
只是他们为了纪念法拉第的贡献，所以才将这个公式命名为法拉第电磁感应定律。
纽曼和韦伯的推导过程涉及到了的纽曼矢量势an和韦伯矢量式aw，比较复杂，这里就不详细深入解释了。
总而言之。
法拉第电磁感应定律的终式如下：
1.e＝nΔΦ/t
(1)磁通量的变化是由面积变化引起时，ΔΦ＝bΔs，则e＝nbΔs/t；
(2)磁通量的变化是由磁场变化引起时，ΔΦ＝Δbs，则e＝nΔbs/t；
(3)磁通量的变化是由于面积和磁场变化共同引起的，则根据定义求，ΔΦ＝|Φ末－Φ初|。
2.导体棒切割磁感线时：e＝blv
3.导体棒绕一端转动切割磁感线时：e＝bl2w
4.导线框绕与b垂直的轴转动时：e＝nbsw。
看到这些公式，是不是回忆起了被高中物理支配的恐惧？
咳咳……
而徐云正是在这个基础上，写下了另一个令法拉第头皮发麻的公式：
▽x（▽xe）=▽（▽·e）－（▽·▽）e=▽（▽·e）－▽^2e
▽^2t=a^2t/ax^2＋a^2t/ay^2＋a^2t/az^2。
没错。
聪明的同学想必已经看出来了。
第一个小公式是矢量的三重积公式推电场e的旋度的旋度，第二个则是电场的拉普拉斯。
其中旋度这个名称……也就是curl，是由小麦在1871年提出的词汇。
但相关概念早在1839在光学场理论的构建就出现过了，只是还没正式被总结而已。
其实吧。
以法拉第的数学积累，这个公式他多半是没法瞬间理解的，需要更为深入的解析计算。
奈何考虑到一些鲜为人同学挂科挂的都快哭了，这里就假定法拉第被高斯附身了吧……
随后看着徐云写出来的这个公式，在场众人中真实数学水平最高的韦伯再次意识到了什么。
只见他皱着眉头注视了这个公式小半分钟，忽然眼前一亮。
左手摊平，右手握拳，在掌心上重重一敲：
“这是……电场散度的梯度减去电场的拉普拉斯可以得到的值？”
徐云朝他竖起了一根大拇指，难怪后世有人说韦伯如果不进入电磁学，或许数学史上便会出现一尊巨匠。
这种思维灵敏度，哪怕在后世都不多见。
在上面那个公式中。
▽（▽·e）表示电场e的散度的梯度，e（▽·▽）则可以换成（▽·▽）e，同时还可以写成▽^2e——这就引出了后面的拉普拉斯算子。
只要假设空间上一点（x，y，z）的温度由t（x，y，z）来表示，那么这个温度函数t（x，y，z）就是一个标量函数，便可以对它取梯度▽t。